一文详尽之 SVM 支持向量机算法!

来源:Datawhale

寄语:本文介绍了 SVM 的理论,细致说明了“间隔”和“超平面”两个概念;随后,阐述了如何最大化间隔并区分了软硬间隔 SVM;同时,介绍了 SVC 问题的应用。最后,用 SVM 乳腺癌诊断经典数据集,对 SVM 进行了深入的理解。
支持向量机(support vector machines, SVM)是一种二分类模型,它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器,间隔最大使它有别于感知机。

SVM 的的学习策略就是间隔最大化,可形式化为一个求解凸二次规划的问题,也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。SVM 的的学习算法就是求解凸二次规划的最优化算法。

下图为 SVM 的分类效果显示,可以发现,不管是线性还是非线性,SVM 均表现良好。

学习框架

SVM 理论

支持向量机(Support Vector Machine:SVM)的目的是用训练数据集的间隔最大化找到一个最优分离超平面。

下边用一个例子来理解下间隔和分离超平面两个概念。现在有一些人的身高和体重数据,将它们绘制成散点图,是这样的:

如果现在给你一个未知男女的身高和体重,你能分辨出性别吗?直接将已知的点划分为两部分,这个点落在哪一部分就对应相应的性别。那就可以画一条直线,直线以上是男生,直线以下是女生。

问题来了,现在这个是一个二维平面,可以画直线,如果是三维的呢?该怎么画?我们知道一维平面是点,二维平面是线,三维平面是面。

对的,那么注意,今天的第一个概念:超平面是平面的一般化:

  • 在一维的平面中,它是点
  • 在二维的平面中,它是线
  • 在三维的平面中,它是面
  • 在更高的维度中,我们称之为超平面

注意:后面的直线、平面都直接叫超平面了。

继续刚才的问题,我们刚才是通过一个分离超平面分出了男和女,这个超平面唯一吗?很明显,并不唯一,这样的超平面有若干个。

那么问题来了,既然有若干个,那肯定要最好的,这里最好的叫最优分离超平面。如何在众多分离超平面中选择一个最优分离超平面?下面这两个分离超平面,你选哪个?绿色的还是黑色的?

对,当然是黑色的,可是原理是什么?很简单,原理有两个,分别是:

  • 正确的对训练数据进行分类
  • 对未知数据也能很好的分类

黑色的分离超平面能够对训练数据很好的分类,当新增未知数据时,黑色的分离超平面泛化能力也强于绿色。深究一下,为什么黑色的要强于绿色?原理又是什么?

其实很简单:最优分离超平面其实是和两侧样本点有关,而且只和这些点有关。怎么理解这句话呢,我们看张图:

其中当间隔达到最大,两侧样本点的距离相等的超平面为最优分离超平面。注意,今天的第二个概念:对应上图,Margin 对应的就是最优分离超平面的间隔,此时的间隔达到最大。

一般来说,间隔中间是无点区域,里面不会有任何点(理想状态下)。给定一个超平面,我们可以就算出这个超平面与和它最接近的数据点之间的距离。那么间隔(Margin)就是二倍的这个距离。

如果还是不理解为什么这个分离超平面就是最优分离超平面,那你在看这张图。

在这张图里面间隔 MarginB 小于上张图的 MarginA。当出现新的未知点,MarginB 分离超平面的泛化能力不如 MarginA,用 MarginB 的分离超平面去分类,错误率大于 MarginA

总结一下

支持向量机是为了通过间隔最大化找到一个最优分离超平面。在决定分离超平面的时候,只有极限位置的那两个点有用,其他点根本没有大作用,因为只要极限位置离得超平面的距离最大,就是最优的分离超平面了。

如何确定最大化间隔

如果我们能够确定两个平行超平面,那么两个超平面之间的最大距离就是最大化间隔。看个图你就都明白了:

左右两个平行超平面将数据完美的分开,我们只需要计算上述两个平行超平面的距离即可。所以,我们找到最大化间隔:

  • 找到两个平行超平面,可以划分数据集并且两平面之间没有数据点
  • 最大化上述两个超平面
1. 确定两个平行超平面

怎么确定两个平行超平面?我们知道一条直线的数学方程是:y-ax+b=0,而超平面会被定义成类似的形式:
image.png
推广到 n 维空间,则超平面方程中的 w、x 分别为:

如何确保两超平面之间没有数据点?我们的目的是通过两个平行超平面对数据进行分类,那我们可以这样定义两个超平面。

对于每一个向量x_i:满足:
image.png
也就是这张图:所有的红点都是 1 类,所有的蓝点都是 −1 类。

整理一下上面的两个超平面:
image.png
不等式两边同时乘以 y_i,-1 类的超平面y_i=-1,要改变不等式符号,合并后得
image.png
ok,记住上面的约束条件。

2. 确定间隔

如何求两个平行超平面的间隔呢?我们可以先做这样一个假设:

  • h_0 是满足约束 w \cdot x_i -b=1 的超平面
  • h_1 是满足约束 w \cdot x_i -b=-1 的超平面
  • x_0h_0上的一点

x_0到平面h_1的垂直距离m就是我们要的间隔。

这个间隔是可以通过计算出来的,推导还需要一些步骤,直接放结果了就:

m=\frac{2}{ \lVert w \lVert }

其中 ||w|| 表示 w 的二范数,求所有元素的平方和,然后在开方。比如,二维平面下:

\lVert w \lVert = \sqrt{w^2_1 + w^2_2}

可以发现,w 的模越小,间隔 m 越大

3. 确定目标

我们的间隔最大化,最后就成了这样一个问题:

在约束条件对于的情况下 y_i(w \cdot x_i-b) \geq 1(对于i=1,...,n)的情况下
找到使 \lVert w \lVert 最小的w,b

了其中 w 和 b,我们的最优分离超平面就确定了,目的也就达到了。

上面的最优超平面问题是一个凸优化问题,可以转换成了拉格朗日的对偶问题,判断是否满足 KKT 条件,然后求解。上一句话包含的知识是整个 SVM 的核心,涉及到大量的公式推导。

此处略过推导的步骤,若想了解推导过程可直接百度。你只需要知道它的目的就是为了找出一个最优分离超平面。就假设我们已经解出了最大间隔,找到了最优分离超平面,它是这样的:

除去上面我们对最大间隔的推导计算,剩下的部分其实是不难理解的。从上面过程,我们可以发现,其实最终分类超平面的确定依赖于部分极限位置的样本点,这叫做支持向量。

由于支持向量在确定分离超平面中起着决定性作用,所有将这类模型叫做支持向量机。

我们在上面图中的点都是线性可分的,也就是一条线(或一个超平面)可以很容易的分开的。但是实际情况不都是这样,比如有的女生身高比男生高,有的男生体重比女生都轻,像这种存在噪声点分类,应该怎么处理?

针对样本的 SVM

1. 硬间隔线性 SVM

上面例子中提到的样本点都是线性可分的,我们就可以通过分类将样本点完全分类准确,不存在分类错误的情况,这种叫硬间隔,这类模型叫做硬间隔线性 SVM。



2. 软间隔线性 SVM

同样的,可以通过分类将样本点不完全分类准确,存在少部分分类错误的情况,这叫软间隔,这类模型叫做软间隔线性 SVM。

不一样的是,因为有分类错误的样本点,但我们仍需要将错误降至最低,所有需要添加一个惩罚项来进行浮动,所有此时求解的最大间隔就变成了这样:
image.png
硬间隔和软间隔都是对线性可分的样本点进行分类,那如果样本点本身就不线性可分?举个例子:下面这幅图

样本点并不是线性可分的,这种问题应该怎么处理呢?解决这个问题之前,先看一下这个小短视频:

视频中是将平面中的样本点映射到三维空间中,使用一个平面将样本线性可分。

所以我们需要一种方法,可以将样本从原始空间映射到一个更高纬的空间中,使得样本在新的空间中线性可分,即:核函数。在非线性 SVM 中,核函数的选择关系到 SVM 的分类效果。

幸好的是,我们有多种核函数:线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、sigmoid 核函数等等,甚至你还可以将这些核函数进行组合,以达到最优线性可分的效果

核函数了解到应该就差不多了,具体的实现我们在下一节的实战再说。

多分类 SVM

前面提到的所有例子最终都指向了二分类,现实中可不止有二分类,更多的是多分类问题。那么多分类应该怎么分呢?有两种方法:一对多和一对一。

1. 一对多法

一对多法讲究的是将所有的分类分成两类:一类只包含一个分类,另一类包含剩下的所有分类

举个例子:现在有 A、B、C、D 四种分类,根据一对多法可以这样分:

  • ①:样本 A 作为正集,B、C、D 为负集
  • ②:样本 B 作为正集,A、C、D 为负集
  • ③:样本 C 作为正集,A、B、D 为负集
  • ④:样本 D 作为正集,A、B、C 为负集

该方法分类速度较快,但训练速度较慢,添加新的分类,需要重新构造分类器。

2. 一对一法

一对一法讲究的是从所有分类中只取出两类,一个为正类一个为父类

再举个例子:现在有 A、B、C 三种分类,根据一对一法可以这样分:

  • ①分类器:样本 A、B
  • ②分类器:样本 A、C
  • ③分类器:样本 B、C

该方法的优点是:当新增一类时,只需要训练与该类相关的分类器即可,训练速度较快。缺点是:当类的种类 K 很多时,分类器个数 K(K-1)/2 会很多,训练和测试时间较慢。

SVC,Support Vector Classification

我们知道针对样本有线性 SVM 和非线性 SVM。同样的在 sklearn 中提供的这两种的实现,分别是:LinearSVC 和 SVC。

SVC : Support Vector Classification 用支持向量机处理分类问题

SVR : Support Vector Regression 用支持向量机处理回归问题

1. SVC 和 LinearSVC

LinearSVC 是线性分类器,用于处理线性分类的数据,且只能使用线性核函数。SVC 是非线性分类器,即可以使用线性核函数进行线性划分,也可以使用高维核函数进行非线性划分。

2. SVM 的使用

在 sklearn 中,一句话调用 SVM,

from sklearn import svm

主要说一下 SVC 的创建,因为它的参数比较重要

model = svm.SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma=0.001)

分别解释一下三个重要参数:* kernel 代表核函数的选择,有四种选择,默认 rbf(即高斯核函数)

  • 参数 C 代表目标函数的惩罚系数,默认情况下为 1.0
  • 参数 gamma 代表核函数的系数,默认为样本特征数的倒数

其中 kernel 代表的四种核函数分别是:

  • linear:线性核函数,在数据线性可分的情况下使用的
  • poly:多项式核函数,可以将数据从低维空间映射到高维空间
  • rbf:高斯核函数,同样可以将样本映射到高维空间,但所需的参数较少,通常性能不错
  • sigmoid:sigmoid 核函数,常用在神经网络的映射中

SVM 的使用就介绍这么多,来实战测试一下。

经典数据集实战

1. 数据集

SVM 的经典数据集:乳腺癌诊断。医疗人员采集了患者乳腺肿块经过细针穿刺 (FNA) 后的数字化图像,并且对这些数字图像进行了特征提取,这些特征可以描述图像中的细胞核呈现。通过这些特征可以将肿瘤分成良性和恶性。

本次数据一共 569 条、32 个字段,先来看一下具体数据字段吧:

其中 mean 结尾的代表平均值、se 结尾的代表标准差、worst 结尾代表最坏值(这里具体指肿瘤的特征最大值)。所有其实主要有 10 个特征字段,一个 id 字段,一个预测类别字段。我们的目的是通过给出的特征字段来预测肿瘤是良性还是恶性。

2. 数据 EDA

EDA:Exploratory Data Analysis 探索性数据分析,先来看数据的分布情况:

df_data.info()

一共 569 条、32 个字段。32 个字段中 1 个 object 类型,一个 int 型 id,剩下的都是 float 类型。另外:数据中不存在缺失值。

大胆猜测一下,object 类型可能是类别型数据,即最终的预测类型,需要进行处理,先记下。再来看连续型数据的统计数据:

df_data.describe()

好像也没啥问题(其实因为这个数据本身比较规整),可直接开始特征工程吧。

3. 特征工程

首先就是将类别数据连续化


"""2. 类别特征向量化"""
le = preprocessing.LabelEncoder()
le.fit(df_data['diagnosis'])
df_data['diagnosis'] = le.transform(df_data['diagnosis'])

再来观察每一个特征的三个指标:均值、标准差和最大值。优先选择均值,最能体现该指特征的整体情况。

"""3. 提取特征"""
 # 提取所有mean 字段和label字段
df_data_X = df_data.filter(regex='_mean')
df_data_y = df_data['diagnosis']

现在还有十个特征,我们通过热力图来看一下特征之间的关系。


#热力图查看特征之间的关系
sns.heatmap(df_data[df_data_X.columns].corr(), linewidths=0.1, vmax=1.0, square=True,
            cmap=sns.color_palette('RdBu', n_colors=256),
            linecolor='white', annot=True)
plt.title('the feature of corr')
plt.show()

热力图是这样的:

我们发现 radius_mean、perimeter_mean 和 area_mean 这三个特征强相关,那我们只保留一个就行了。这里保留热力图里面得分最高的 perimeter_mean。

最后一步,因为是连续数值,最好对其进行标准化。标准化之后的数据是这样的:

 df_data_X = df_data_X.drop(['radius_mean', 'area_mean'], axis=1)
"""5. 进行特征归一化/缩放"""
scaler = preprocessing.StandardScaler()
df_data_X = scaler.fit_transform(df_data_X)
return df_data_X, df_data_y

4. 训练模型

上面已经做好了特征工程,直接塞进模型看看效果怎么样。因为并不知道数据样本到底是否线性可分,所有我们都来试一下两种算法。先来看看 LinearSVC 的效果

"""1.1. 第一种模型验证方法"""
    # 切分数据集
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data_X, data_y, test_size=0.2)
    # 创建SVM分类器
    model = svm.LinearSVC()
    # 用训练集做训练
    model.fit(X_train, y_train)
    # 用测试集做预测
    pred_label = model.predict(X_test)
    print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))

效果很好,简直好的不行,在此,并没有考虑准确率。

ok,还有 SVC 的效果。因为 SVC 需要设置参数,直接通过网格搜索让机器自己找到最优参数,效果更好。

"""2. 通过网格搜索寻找最优参数"""
    parameters = {
        'gamma': np.linspace(0.0001, 0.1),
        'kernel': ['linear', 'poly', 'rbf', 'sigmoid'],
    }
    model = svm.SVC()
    grid_model = GridSearchCV(model, parameters, cv=10, return_train_score=True)
    grid_model.fit(X_train, y_train)
    # 用测试集做预测
    pred_label = grid_model.predict(X_test)
    print('准确率: ', metrics.accuracy_score(pred_label, y_test))
    # 输出模型的最优参数
    print(grid_model.best_params_)

可以看出,最终模型还是选择 rbf 高斯核函数,果然实至名归。主要是通过数据 EDA+ 特征工程完成了数据方面的工作,然后通过交叉验证 + 网格搜索确定了最优模型和最优参数。


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