通俗的理解牛顿 - 莱布尼茨公式及其证明

知乎 Flame 的回答

你觉得绕是因为逻辑本来就有问题,积分上限函数是不定积分的本质,而不是什么原函数。

定积分(也叫黎曼积分,Riemann Integral)为给定区间无限分割求和,求和符号 [公式] 拉长变成表无限 [公式][公式]

[公式] 的微分 [公式] 区别于有限分割求和的 [公式] 表示无限分割。

构造从积分上限映射到定积分的函数 [公式] ,称为不定积分

** Ⅰ. 由定积分定义,积分上限** [公式]增加一 [公式] ,不定积分恰增加一 [公式] ,后者是前者的无穷小量(说下“无穷小量”这个将错就错的历史名词,它并不表示任何量的大小,而是说明一个量趋于零时,另一个量的变化趋势,故而高阶低阶不是大小不同而是变化速度不同), [公式]这直接说明不定积分之导数为被积函数 [公式] ,故不定积分可逆用求导法拼凑原函数 [公式] 求得

(你之前在计算不定积分时所用的变量代换,凑微分,分部积分,不都是逆用求导吗?)

这里我们指出求不定积分时的任意常数 [公式] 实质是积分下限 [公式] 未定。

** Ⅱ. 据定积分对区间的可加性(由定义和几何意义可以看出)即可将定积分表示为不定积分的两个值的差。**

[公式]

注意到等式最右边的两项积分下限一致,因此任意常数 [公式] 的选取不会影响定积分的计算。

到这儿就差不多了,但我还是建议继续往下看。

我们回过头来看, [公式][公式][公式] 上的总变化值, [公式] 是在 [公式]上每一个小变化值之和,二者相等是理所当然的。因此整个公式的核心就在于 中的[公式]

也即 [公式] 只要此式成立,公式就成立。

从积分看,它要求被积函数在极限情形下具有线性函数的性质(或者说,函数足够地光滑 );从微分看,你对此式应十分熟悉,它就是微分的表达式,而微分也是极限情形下对函数进行线性近似,现在你对** “微分与增量之差是 [公式]的高阶无穷小”的意义** 应有了更深的体会,传统教材中的导数一章中微分的那一节并不是没有意义的,整个积分学是以此为基础的。

(课本里不是管微分叫增量的“线性主部”吗?如果非主部的部分可以忽略,不就是近似当作线性函数来处理吗?)

所以说,微分法和积分法都是在极限情形下对函数的线性处理方法。

有了这个逻辑顺序后,才应该考虑如何拼凑的技巧性。而不是莫名其妙地告诉你把逆用求导叫做不定积分,再给你一个莫名奇妙的符号 [公式] 表示这个运算,然后花大量篇幅讨论技巧性完毕后讲定积分,结果技巧变本质,本质倒成了“拐弯抹角”的方法。



以上论述有没有缺陷呢?

有,** Ⅰ中定义的不定积分 [公式] 并不一定每一点都是可导的, ** [公式] 并不是一定存在的,容易看出“ [公式] 连续时,[公式]必是其原函数”。若 [公式] 不可导便不能称其为 [公式] 的原函数,也就不再是通行教材中的不定积分(原函数 + 任意常数 C)。这就是为什么 即使定积分可积,但原函数却不一定存在。

然而出于**应用公式计算定积分的目的,个别点的连续性并不会影响定积分作为和式极限的存在。**只要采用分段求和的办法,每个区间上的原函数仍是存在的。

所以,牛顿莱布尼兹公式适用于的函数是那些足够光滑,以至于在极限条件下可作线性函数来处理的函数。这个“光滑”的要求很特殊,虽然很常见却只是所有函数的冰山一角。

如果研究更普遍的情形,就可能会存在这样的情况,极限情形下的线性近似 [公式]对于某些函数不再成立,比如著名的 Dirichlet 函数。这是当然,因为这线性近似并非函数的一般性质。对于这样的函数该怎么办呢?*Lebesgue *笑了。

知乎 Kevin Wayne 的回答:

我们用分点

[公式]

将被积区间 [公式] 等分成 [公式] 个小区间,每个小区间长度为 [公式] 。相应的原函数 [公式] 的总改变量 [公式] 可分为 [公式] 个部分改变量的和。即:

[公式]

根据微分中值定理,在每个小区间 [公式] 内,一定存在一点 [公式] ,使得

[公式]

从而

[公式]

[公式] 时,根据定积分的定义,我们有

[公式]

上面的公式被认为是微积分中最重要的公式。它的存在,**避免了利用定义求定积分时可能会遇到的复杂性与技巧性,使得定积分的计算过程大大简化,同时也把定积分(被定义为积分和的极限)与不定积分(被定义为原函数)两个看起来毫不相干的概念联系起来。**这个公式就是大名鼎鼎的「微积分基本定理」。

值得注意的是,微积分基本定理也不是万能的。利用微积分基本定理求定积分,需要求出被积函数的不定积分。但是,求原函数并不都是很容易的,有时甚至原函数根本无法用初等函数表示。况且从工程、技术、科研、经济、金融等实际应用中遇到的大量被积函数,常常是用表格或曲线给出的,这时写不出被积函数的表达式,当然也就无法用式子写出它的原函数。这时,我们通常借助数值计算法求出定积分的近似值。在计算机广泛应用的今天,数值计算在复杂的大数据面前显得更加重要。


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