干货 | Softmax 函数详解

浅谈 Softmax 函数

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发表于: 2019-08-24

0. 引言

Softmax 函数几乎是深度学习中的标配了, 在人工神经网络中,几乎无处不可见 softmax 函数的身影。可以认为 softmax 是 arg max 操作的一种平滑近似。

我将 softmax 的用途总结为两种:

  • 分类:给定一系列类别,softmax 可以给出某输入被划分到各个类别的概率分布。由于人工智能领域的许多问题都可以抽象成分类问题,所以 softmax 最广泛的应用当属分类;
  • 寻址:由于 softmax 的输出是一种概率分布的形式,可以用它来实现一种软性的寻址。近几年逐渐推广的(软性)注意力机制就可以认为是一种软性寻址的方式,根据各个键向量与查询向量的相似度从各个值向量中获取一定的“信息”。因此使用了 softmax 的注意力机制也可以用于外部记忆的访问。

不难发现,在分类问题中,我们也可以使用 arg max 来找到对应的类别;在寻址问题中,一个直观的方法也是使用 arg max 寻找最相似的向量/记忆。但是 arg max 操作并不具有良好的数学性质,其不可导的性质使其无法直接应用基于梯度的优化方法。因此在分类和寻址两种用途中,常常都使用 softmax 函数替代 arg max。

基于这两种用途,softmax 可以在人工神经网络中充当什么样的角色,就靠诸君的想象了。这篇文章中,我想简单、粗浅地探讨一下 softmax 的一些性质与变种。

1. 基本形式

给定一个 [公式] 维向量,softmax 函数将其映射为一个概率分布。标准的 softmax 函数 [公式] 由下面的公式定义

[公式]

其中,分母是配分函数(Partition Function),一般简记为 [公式] ,表示所有状态/值的总和,作为归一化因子;分子是势能函数(Potential Function)。

直观上看,标准 softmax 函数用一个自然底数 [公式] 先拉大了输入值之间的差异,然后使用一个配分将其归一化为一个概率分布。在分类问题中,我们希望模型分配给正确的类别的概率接近 1,其他的概率接近 0,如果使用线性的归一化方法,很难达到这种效果,而 softmax 有一个先拉开差异再归一化的“两步走”战略,因此在分类问题中优势显著。

事实上,在势能函数和配分函数中,可以采用的底数不仅仅是自然底数 [公式] ,也可以采用一些其他的底数。原则上,任意 [公式] 都可以作为这里的底数,越大的底数越能起到“拉开差异”的作用。使用 [公式] 作为底数时,将产生以下的非标准 softmax 函数

[公式]

其中 [公式] 是一个实数,正的[公式] 常常在机器学习中使用,在信息检索的工作 DSSM 中,[公式] 就充当了一个平滑因子;负的[公式] 常常在热力学系统中使用,由于一些概率图模型 也参考了热力学的原理,所以在概率图模型中也常常能见到这种形式,如玻尔兹曼机。

2. 导数与优化

标准 softmax 具有非常漂亮的导数形式:

[公式]

这里导数的推导可以参考@邱锡鹏老师的《神经网络与深度学习》附录 B.2.4 的推导。

在分类问题中,softmax 函数常常和交叉熵损失函数一起使用,此时交叉熵损失函数 [公式][公式] 的导数,由下面的形式给出:

[公式]

其中 [公式] 是真实标签对应的 one-hot 编码向量。这样的导数在优化时非常方便,实现起来也非常简单。

由于 softmax 函数先拉大了输入向量元素之间的差异,然后才归一化为一个概率分布,在应用到分类问题时,它使得各个类别的概率差异比较显著,最大值产生的概率更接近 1,这样输出分布的形式更接近真实分布。

但是当 softmax 函数被应用到寻址时,例如注意力机制中,softmax 这个拉大元素间差异的过程可能会导致一定的问题。假设输入向量有唯一的最大值,如果将 arg max 操作定义为指示最大值的一个 one-hot 编码函数 [公式] ,在非标准 softmax 中有

[公式]

  • 这里的证明参见下方的补充(A)。

如果将非标准 softmax 的[公式] 融入到输入中,则容易看出:当输入的方差/数量级较大时,softmax 的输出会比较接近一个 one-hot 向量。根据式 [公式] ,其导数的两个项会比较接近,导致导数变成 0 矩阵。这也就导致了梯度弥散的问题 ,不利于优化,具体讨论可以参考我先前的一篇回答。这也是为什么注意力机制中常常使用缩放点积形式的注意力



插一句题外话,开篇提到 softmax 是 arg max 操作的一种平滑近似,而针对 max 操作的近似,其实有一个 LogSumExp 操作(也叫作 softmax),其导数形式就是 softmax 函数,是不是很有趣呢?

3. Softmax 的解释

Softmax 可以由三个不同的角度来解释。从不同角度来看 softmax 函数,可以对其应用场景有更深刻的理解。

3.1 是 arg max 的一种平滑近似

前面提到过,softmax 可以当作 arg max 的一种平滑近似,与 arg max 操作中暴力地选出一个最大值(产生一个 one-hot 向量)不同,softmax 将这种输出作了一定的平滑,即将 one-hot 输出中最大值对应的 1 按输入元素值的大小分配给其他位置。如式 [公式] 所示,当底数增大时,softmax 逐渐收敛为 arg max 操作。

在机器学习应用中,我们往往不(直接)需要一个 arg max 的操作,这时候显然数学性质更好、更容易优化的 softmax 就是我们的第一选择。

3.2 归一化产生一个概率分布

Softmax 函数的输出符合指数分布族的基本形式

[公式]

其中 [公式]

不难理解,softmax 将输入向量归一化映射到一个类别概率分布,即 [公式] 个类别上的概率分布(前文也有提到)。这也是为什么在深度学习中常常将 softmax 作为 MLP 的最后一层,并配合以交叉熵损失函数(对分布间差异的一种度量)。

3.3 产生概率无向图的联合概率

从概率图模型的角度来看,softmax 的这种形式可以理解为一个概率无向图上的联合概率。因此你会发现,条件最大熵模型与 softmax 回归模型实际上是一致的,诸如这样的例子还有很多。由于概率图模型很大程度上借用了一些热力学系统的理论,因此也可以从物理系统的角度赋予 softmax 一定的内涵。

4. Softmax 的改进与变种

Softmax 函数是一种简单优美的归一化方法,但是它也有其固有的缺陷。直观上看,当应用到实际问题时,其最大的问题就在于配分函数的计算:当类别的数量很多时,配分函数的计算就成为了推断和训练时的一个瓶颈。在自然语言处理中,类别常常对应词汇表中的所有词汇,这个数量之大可见一斑,如果直接采用 softmax 计算方法,计算效率会非常低。因此一般采用一些方法改进 softmax 函数,加速模型训练。这里列举几个自然语言处理中的经典改进/变种

  1. 层次化 softmax:将扁平的 [公式] 分类问题转化为层次化的分类问题。将词汇表中的词分组组织成(二叉)树形结构,这样一个 [公式] 分类问题,可以转化为多层的二分类问题,从而将求和的次数由 [公式] 降低到了树的深度级别。这里可以使用的一个方法是,按照词汇的频率求和编码 Huffman 树,从而进一步减少求和操作的计算次数。
  2. 采样方法:使用梯度上升优化时,softmax 的导数涉及到一次配分函数的计算和一次所有词汇上的 softmax 对词汇的梯度的期望,这两个计算都可以用采样方法来近似,比如重要性采样,这样计算次数由 [公式] 减少为采样样本数 [公式] 的级别。这种方法的性能很受采样策略的影响,以重要性采样方法为例,其效果就依赖于提议分布的选取;采样样本数 [公式] 的选取也需要考虑精度和训练效率的折衷。
  3. 噪声对比估计(NCE):将密度估计问题转换为两类分类问题(区分噪声与真实数据),从而降低计算复杂度。其中配分函数被替换为了一个可学习的参数,这样 NCE 方法能促使输入的未归一化向量自己适应为一个归一化的、接近真实分布的分布向量。由于不再需要计算配分函数,训练效率大大提升。这种对比学习思想在深度学习中也十分常见。

5. 总结

前面简单讨论了 softmax 的性质、解释与变种,从现在来看,似乎 softmax 已经是神经网络中的一根老油条了。Softmax 还有哪些可以挖掘的地方呢?作为一个菜鸟,只好先把这个问题抛给诸位了。

A. 补充

突然觉得式 [公式] 直接放进来有一点太唐突了,觉得还是要简单证明一下,算是完善一下之前的回答。

假设固定输入 [公式] 不变,变化参数 [公式] ,假设输入 [公式] 中有唯一的最大值 [公式] ,则有:

[公式]

不妨设 [公式] ,可以分类讨论一下:

  1. [公式] ,则 [公式] ,此时

[公式]

  1. [公式] ,则 [公式] ,此时

[公式]

结合 [公式] ,可以得到

[公式]

即,当 [公式] 取无穷大时,非标准 softmax 的输出收敛到一个 one-hot 向量,其中最大输入对应的输出值是 1,其他输出是 0。

当输入向量中有多个最大值,可以更宽泛地定义 arg max 操作,使其输出为一个 [公式] 维向量,其中 [公式] 个最大值下标对应的输出为 [公式] ,其它输出为 0。这时类似上面的证明,很容易验证,当 [公式] 时,softmax 依然仍然收敛为 arg max 操作。

参考

  1. Softmax function https://en.wikipedia.org/wiki/Softmax_function
  2. Huang et al., Learning Deep Structured Semantic Models for Web Search using Clickthrough
  3. 邱锡鹏,《神经网络与深度学习》 https://nndl.github.io
  4. transformer 中的 attention 为什么 scaled? - lintongmao 的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/339723385/answer/782509914
  5. LogSumExp https://en.wikipedia.org/wiki/LogSumExp

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