AIQ - 从损失函数的角度详解机器学习算法之逻辑回归



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源 |  机器学习算法全栈工程师 ID:Jeemy110   作者:章华燕

逻辑回归详解

分类是监督学习的一个核心问题,在监督学习中,当输出变量 Y 取有限个离散值时,预测问题便成为分类问题。这时,输入变量 X 可以是离散的,也可以是连续的。监督学习从数据中学习一个分类模型或分类决策函数,称为分类器 (classifier)。分类器对新的输入进行输出的预测 (prediction),称为分类 (classification)。

统计学习方法都是由模型,策略,和算法构成的,即统计学习方法由三要素构成,可以简单表示为: 

方法 = 模型 + 策略 + 算法

对于 logistic 回归来说,模型自然就是 logistic 回归,策略最常用的方法是用一个损失函数 (loss function) 或代价函数 (cost function) 来度量预测错误程度,算法则是求解过程,后期会详细描述相关的优化算法。

01 逻辑回归简介

逻辑回归在某些书中也被称为对数几率回归,明明被叫做回归,却用在了分类问题上,我个人认为这是因为逻辑回归用了和回归类似的方法来解决了分类问题。

假设有一个二分类问题,输出为 y∈{0,1},而线性回归模型产生的预测值为 z=w^T x+b 是实数值,我们希望有一个理想的阶跃函数来帮我们实现 z 值到 0/1 值的转化:

然而该函数不连续,我们希望有一个单调可微的函数来供我们使用,于是便找到了 Sigmoid 函数来替代: 

他们的函数图像如下所示:

有了 Sigmoid 函数之后,由于其取值范围为 [0,1]。我们就可以将其视为类 1 的后验概率估计 p(y=1|x)。说白了,就是如果有了一个测试点 x,那么就可以用 Sigmoid 函数算出来的结果来当做该点 x 属于类别 1 的概率大小。

于是,非常自然地,我们把 Sigmoid 函数计算得到的值大于等于 0.5 的归为类别 1,小于 0.5 的归为类别 0: 

同时逻辑回归于自适应线性网络非常相似,两者的区别在于逻辑回归的激活函数时 Sigmoid function 而自适应线性网络的激活函数是 y=x,两者的网络结构如下图所示:

自适应线性网络

逻辑回归网络

02 逻辑回归的损失函数

好了,所要用的几个函数我们都好了,接下来要做的就是根据给定的训练集,把参数 w 给求出来了。要找参数 w,首先就是得把代价函数(cost function)给定义出来,也就是目标函数。

我们第一个想到的自然是模仿线性回归的做法,利用误差平方和来当代价函数。 

其中,z(i)=wT x(i)+b,i 表示第 i 个样本点,y(i) 表示第 i 个样本的真实值,ϕ(z^(i)) 表示第 i 个样本的预测值。 

这时,如果我们将 ϕ(z(i))=1 / ( 1+epx(−z(i)) ) 代入的话,会发现这时一个非凸函数,这就意味着代价函数有着许多的局部最小值,这不利于我们的求解:

那么我们不妨来换一个思路解决这个问题。前面,我们提到了ϕ(z) 可以视为类 1 的后验估计,所以我们有: 

其中,p(y=1|x;w) 表示给定 w,那么 x 点 y=1 的概率大小。 于是上面两式可以写成一般形式: 

注:以上的过程说明,最大似然估计与误差平方和等价!这就是为什么逻辑回归的损失函数可以用最大似然函数进行估计的原因。

接下来我们就要用极大似然估计来根据给定的训练集估计出参数 w: 

为了简化运算,我们对上面这个等式的两边都取一个对数: 

我们现在要求的是使得 l(w) 最大的 w。没错,我们的代价函数出现了,我们在 l(w) 前面加个负号不就变成就最小了吗?不就变成我们代价函数了吗? 

为了更好地理解这个代价函数,我们不妨拿一个例子的来看看: 

也就是说 : 

下面是函数图:

从图中不难看出,如果样本的值是 1 的话,估计值ϕ(z) 越接近 1 付出的代价就越小,反之越大;同理,如果样本的值是 0 的话,估计值ϕ(z) 越接近 0 付出的代价就越小,反之越大。

03 梯度下降法求参

在开始梯度下降之前,要这里插一句,sigmoid function 有一个很好的性质就是 : 

先记住这个性质,后续会用到。

还有,我们要明确一点,梯度的负方向就是代价函数下降最快的方向。什么?为什么?好,我来说明一下。借助于泰特展开,我们有 :

其中,f′(x) 和δ为向量,那么这两者的内积就等于

当θ=π时,也就是δ在 f′(x) 的负方向上时,取得最小值,也就是下降的最快的方向了 ~

okay?好,坐稳了,我们要开始下降了。 

其中,wj 表示第 j 个特征的权重;η为学习率,用来控制步长。

 
重点来了:

所以,在使用梯度下降法更新权重时,只要根据下式即可: 

此式与线性回归时更新权重用的式子极为相似,也许这也是逻辑回归要在后面加上回归两个字的原因吧。 当然,在样本量极大的时候,每次更新权重会非常耗费时间,这时可以采用随机梯度下降法,这时每次迭代时需要将样本重新打乱,然后用下式不断更新权重:

也就是去掉了求和,而是针对每个样本点都进行更新。

原文链接:http://mp.weixin.qq.com/s/72hnfnVj1SxTuaxpwzD1Bg


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